Een boogstraal tekenen zonder passer

[JoopSpoort]

--KNIP--
Mensen met een abonnement op Railhobby.nl of in het bezit van een papieren exemplaar kunnen de informatie daar terugzoeken. Ik kan het artikel hier natuurlijk niet plaatsen. Mocht het echter iemand interesseren, dan wil ik nog wel een tekening maken en de formule overschrijven. Op de wiskundige kennis zit geen auteursrecht.

In het archief van Railhobby zijn de uitgaven van 1983 t/m 1987 niet beschikbaar. Volgens mij was dit blad toen bij een andere uitgever gepubliceerd en kennelijk niet beschikbaar voor het archief.

[Benelux795]

Het resultaat (de meest rechtse boog was de aanleiding voor de vraag)

Waarom kon je hier eigenlijk geen passer voor knutselen...??

[Ferdinand Bogman]

Goeie vraag Vincent,

Nu ik de foto bekijk (en de echte situatie) denk ik dat dat best mogelijk was geweest. Ik weet nog dat ik me wel afvroeg hoe ik dan achter de juiste straal kon komen. Blijkt ook in dat artikel te staan! Kom ik zo op terug; eerst even "gewoon" een boog van 90 graden.

Als je een kwartcirkel hebt met een straal R en vanuit het middelpunt een x- en en y-as trekt, dan geldt voor elk punt op die cirkel dat

• R = √( x² + y² )

Voor de formule maakt het niet uit als we de assen een beetje anders tekenen:

Het middelpunt van de cirkel ligt rechtsonder. X begint daar bij 0 en loopt richting linksonder op naar x = R.
De y-as is links getekend en stelt het rechtdoorgaande spoor voor.

Om nu de boog uit te kunnen zetten, kunnen we op vaste afstanden langs die y-as een horizontale lijn trekken. De lengte van die lijn a is gelijk aan R - x. Als we in de formule nu steeds R en y invullen, kunnen we x, en dus a, uitrekenen. In de figuur zijn de lengtes gegeven voor een straal van een meter. Zoals eerder gezegd: omdat je steeds tekent vanuit de rechtdoorgaande as, blijft de onnauwkeurigheid beperkt.

Nu ik het artikel goed las, kwam ik erachter dat ook voor mijn probleem een oplossing geboden werd. Hoe bepaal je de straal van de boog tussen twee rechte stukken spoor, die niet haaks op elkaar staan?

Het antwoord wordt gegeven door deze tekening:

Het horizontale spoor komt van links en loopt tot A (het rechte stuk links van A ontbreekt in de tekening). Het aan te sluiten spoor komt van rechtsboven en loopt rechtdoor tot B. Tussen A en B moet een boog gelegd worden.

Vanuit elk spoor wordt eerst een rechte lijn doorgetrokken. Die lijnen kruisen elkaar: A-S en B-S. Als het goed is zijn deze even lang.
Daarna is de horizontale lijn A-S doorgetrokken tot punt C, dat zo gekozen wordt dat het mogelijk is om haaks daarop de lijn B-C te tekenen. We noemen A-C = x en B-C = a. Als je nu x en a opmeet kun je de straal berekenen volgens:

• R = ( x² + a² ) / 2a

Voor de getallen in de figuur komt de straal op 4,3 meter! Knappe jongen die daar een passer voor knutselt .

Nu kan dezelfde formule als voor de kwartcirkel gebruikt worden om de lengte van de stukjes a uit te rekenen, die op vaste afstanden x zijn uitgezet vanaf A, links. De lengtes in de tabel in de figuur zijn gebaseerd op die 4,3 meter.

Voor de boog rechts op de foto van mijn sjoelbak heb ik a en x nog even opgemeten om de straal te bepalen. Met a =12cm en x = 33cm kom ik op 51,3cm. De boog is al gelegd zoals beschreven in reactie #13 . De straal van mijn boog is niet constant dus het scherpste stuk zal een wat kleinere straal hebben. En ik heb toch een overgangsboog.

Het voorbeeld van 4,3 meter lijkt me iets voor een module, of voor een mooi lang station in een boog, zoals Baarn?

[Benelux795]

Kan wellicht nog wel simpeler: ik vermoed dat A/B = R/S...

[Ferdinand Bogman]

Dat denk ik ook. Maar dan?

[hrp]

Waarom kon je hier eigenlijk geen passer voor knutselen...??

Passer knutselen?
Touwtje van ruim vier meter met aan ene kant spijker en aan ander einde krijtje!
Leef je uit!
Okay, in een kamer van 2 meter bij 2 meter zal het niet lukken.

[Ferdinand Bogman]

Precies, anders moeten we weer terug naar start (U ontvangt géén Hfl 20.000)!

[Benelux795]

Dat denk ik ook. Maar dan?

Makkelijk zat toch; trek de lijnen door van P1 en P2 naar P3, en van P1 naar P2.
Meet B, A en S op en je weet R.

En dat was toch de laatste vraag?

Ik weet nog dat ik me wel afvroeg hoe ik dan achter de juiste straal kon komen.

[Ferdinand Bogman]

Inderdaad: veel makkelijker dan wat in het artikel wordt voorgesteld. Ook omdat je niet zo ver hoeft uit te wijken naar punt C in mijn tekening. Daarvoor ontbreekt misschien ook de ruimte op een spoorbaan.

Ik ben benieuwd of iemand dit al eens heeft toegepast, of gaat toepassen.

[Klaas Zondervan]

Je bedoelt dat prentje van Vincent? Dat pas ik al jaren toe bij de bouw van mijn wissels.
P3 is dan het mathematisch punt, P2 de plek van de punt van het puntstuk en P1 de tongpunten.

[Benelux795]

Kan mij ook niet voorstellen dat een oude Griek dit niet eerder heeft ontdekt Was wel blij met mijzelf dat ik er zelf op gekomen ben...

[Ferdinand Bogman]

De details van het gebruik bij wisselbouw zijn vast op een ander spoor te vinden? Het gaat mij hier om het leggen van slappe bogen.

Volgens mij bouwden de oude Grieken nog geen modelspoorbanen. Maar van geometrie wisten ze wel het een en ander. Wat mij betreft ben je geslaagd hoor, Vincent!

[Benelux795]

Wissel of een slappe boog is toch allebij een boog waarvoor een geometrie moet bepalen... 
En of ze modelbanen hadden... wel treinen  https://www.historyofrailroad.com/news/father-railway-diolkos