BeneluxSpoor.net forum
Vraag en antwoord => Algemeen => Topic gestart door: Ferdinand Bogman op 15 februari 2022, 20:45:45
-
Met de bouw van mijn modules voor onder de bank (https://forum.beneluxspoor.net/index.php?topic=98727.msg3222288423#msg3222288423) ben ik inmiddels toe aan het leggen van spoor 10 t/m 13 van mijn compacte wisselstraat (https://forum.beneluxspoor.net/index.php?topic=99080.0). Daarbij zit ik een beetje te hannessen met de bogen. Die leg ik allemaal van flexrails; dat is het mooiste. Het probleem is: hoe leg ik een stuk flexrails in de gewenste boogstraal? Het voor de hand liggende antwoord is: gebruik een passer (https://forum.beneluxspoor.net/index.php?topic=61385.msg3221507459#msg3221507459).
Daar heb ik wel pogingen toe gedaan, maar ik zit met een opstaande rand en grote boogstralen. Bovendien liggen er al een hoop rails. Nu kan ik me herinneren dat het handiger kan: in een oude Railhobby heb ik ooit gelezen over een methode zónder passer! En ik kan het idee reproduceren, maar mijn wiskundige vaardigheden zijn niet meer wat ze geweest zijn. De formule waarmee ik het geheel kan uitrekenen heb ik niet kunnen bedenken.
Gelukkig zijn mijn vaardigheden met Paint op orde! Deze tekening geeft aan wat het idee is:
(https://images.beneluxspoor.net/bnls/Boog-tekenen-620c02107a8f9.png) (https://images.beneluxspoor.net/bnls/Boog-tekenen-620c02107a8f9.png)
Links zie je een boog (grijs) en een verticale lijn. Die lijn is doorgetrokken in het verlengde van een recht stuk spoor, op de plek waar de boog begint*. Op een bepaalde afstand is een dwarslijntje getrokken dat horizontaal loopt tot aan de boog. Een zwarte schuine lijn maakt hier een driehoek van. Nu heb ik de eerste twee punten van mijn boog: aan het begin van de schuine lijn en aan het eind.
Vervolgens trek ik die schuine lijn door, met dezelfde lengte als de oorspronkelijke verticale lijn, tot aan het dwarslijntje. Op deze afstand wordt opnieuw een dwarslijntje getrokken. Ook dat heeft dezelfde lengte als het eerste dwarslijntje. Hiermee heb ik het derde punt van de boog.
Dit kan ik herhalen tot ik de hele boog heb getekend. Als alle driehoeken precies hetzelfde zijn, heeft de boog een vaste straal.
Hoe korter de (dwars-)lijnen, hoe meer punten ik teken en des te dichter kom ik bij de exacte boog. Als ik ze te kort neem, kan ik het niet meer tekenen met de benodigde nauwkeurigheid. Maar ik hoef niet voor elke biels een puntje te hebben. Om de paar cm is genoeg.
Rechts, in het rode kader, is een zo'n driehoek uitvergroot en voorzien van wat wiskundige termen:
A = aanliggende zijde van de driehoek, de lijn "rechtdoor" van elke driehoek
O = overstaande zijde van de driehoek, het "dwarslijntje"
S = schuine zijde van de driehoek, de schuine lijn waarvan begin en eind steeds op de boog liggen
∝ = hoek van afwijking
r = straal van de boog
(De mensen met verstand van goniometrie zien dat ik nog wel de termen ken die samenhangen met de sinus, cosinus en tangens van een hoek :))
De opgave van vandaag:
Stel dat ik een boog wil tekenen met straal r, door het tekenen van een lijn A van x cm. Hoe lang moet het dwarslijntje O dan zijn om een volgende punt op de boog met straal r te tekenen?
Verklaar je antwoord en maak er een tekening bij ;).
Voor een alternatieve methode ben ik ook te porren, als het maar geen passer is.
*Omdat het een emplacement is, gebruik ik geen overgangsboog.
-
Leuk als je van wiskunde houdt. 8)
Wat praktischer:
- Print de boogstraal uit op papier en gebruik die als onderlegger, of:
- Teken de gewenste straal - halve breedte rail af op een dunne plaat hout of kunststof, zaag langs de lijn en gebruik dat als mal om de rails tegenaan te leggen.
-
Kun je het middelpunt bepalen?
Met een touwtje en potlood kom je een heel eind.
Mvg Johan
-
Waarom makkelijk doen als het moeilijk kan.
Gewoon een lat met een schroef er in en gaten voor een stift voor de radius.
-
Ooit op de middelbare school proefondervinderlijk de volgende formule bedacht (en bij controle door docent bleek het nog te bewijzen ook):
r = ( A2 + O2 ) / ( 2*O)
Maar hoe je dat dan weer omrekent naar een formule om O te berekenen, waarschijnlijk kom je met invullen van de bekende waarden al een heel eind?
-
Het probleem van Ferdinand is dat er dingen in de weg zitten waardoor een touwtje of een lat met een potlood niet werken.. Ik heb ooit met dit probleem gezeten en heb toen een hoge passer gemaakt die over de obstakels heen gaat.
als je wil kan ik daar een schets van maken, de passer zelf heb ik niet meer.
@Ferdinand, de methode die je in je startbericht beschrijf is tamelijk complex. Ik zou het wel kunnen uitrekenen maar dat ga ik even niet doen. Met een passer is veel simpeler. En als dat echt niet gaat, dan is het altijd nog eenvoudiger om het met behulp van de cirkelvergelijking te doen.
-
Hallo,
Naar mijn idee is een denkrichting:
Als je als boogsegment bijv 20 graden neemt dan kun dan kun je driehoeken maken tussen halve zijde S en het middelpunt van de cirkel.
Hieruit volgt dan de lengte van S: 2 x halve S.
Dan kun je ook A uitrekenen met de cos
Als je wat getalswaarden hebt is het makkelijker uit te rekenen in een voorbeeld.
succes jandcargo
-
Wat ik zou doen is een praktische insteek.
Je neemt een lange dunne lat van bv 0,5 x 0,5 of 1 x 1 cm.
onderaan bij de hoek alfa leg je deze tegen de dwarsliggers van de rails aan (en bv vastzetten met een spijkertje/schroefje).
Je buigt de lat en legt deze tegen de zijkant van waar je uit wil komen.
onderweg kan je de lat de kromming geven die je wil. de lat is dun genoeg om geen last te hebben van obstakels.
vastzetten met spijkertjes om de vorm te behouden?
flexrail ertegen aan....... (y)
(https://images.beneluxspoor.net/bnls/lat-620c1e5428f84.jpg) (https://images.beneluxspoor.net/bnls/lat-620c1e5428f84.jpg)
Ronald Visser
(en GEEN passer gebruikt...... :angel:)
-
Jullie zijn een mooi stel badeenden (https://en.wikipedia.org/wiki/Rubber_duck_debugging) bij elkaar! Het lijkt erop dat alleen Diederik (Quinzeedied) en ik van wiskunde houden ;). Zijn formule zette me toch aan het denken en tekenen. Dus heb ik mijn hoofd gebroken op de goniometrie en wel een antwoord gevonden. Met als conclusie (spoiler alert!) dat dit, voor mij in ieder geval, geen bruikbare methode oplevert.
Voor de fijnproevers de uitwerking. De hoek ∝ in de tekening is gelijk aan de hoek (buiten beeld) tussen de getekende grijze straal r en de straal die het onderste punt van de driehoek aantikt (niet getekend). Dat levert het volgende op:
- ½S = R sin ∝
- A = S cos ∝ = 2R sin ∝ . cos ∝
- T = S sin ∝ = 2R sin ∝ . sin ∝
Nu kan ik A en T uitrekenen als ik R weet en ∝ .
Als straal neem ik bijvoorbeeld 70cm.
De hoek ∝ is de helft van de boog die ik wil doorlopen. Voor het gemak neem ik als voorbeeld ééntiende van een hele cirkel: 36 graden. Dan is ∝ = 18 graden. En kom ik, met de formules hierboven, op:
Maar: dan heb ik maar twee puntjes: een aan het begin en een bijna aan het eind. Want bij een straal van 70cm is de omtrek van de cirkel 440cm. Bij een boog van 36 graden is de hele booglengte maar 44cm. Om de boog een beetje te kunnen benaderen met rechte lijntjes S, moet ik de boog in kleinere stukjes knippen en ∝ een stuk kleiner kiezen. Neem ik daarvoor éénhonderdste van een cirkel (3,6 graden), dan kom ik op:
(Let op: A en B zijn allebei niet tien keer zo kort! Je moet het elke keer opnieuw uitrekenen.)
Ik zou nog ergens tussen 36 en 3,6 graden kunnen gaan zitten. Maar het is, gezien de grote boogstralen en de kleine stukjes boog op mijn emplacement, niet de moeite waard om het zo te doen. De waarden die eruit komen luisteren zo nauw dat ik dat onmogelijk zo precies kan uittekenen. Ik kan het net zo goed op het oog doen, zoals Ronald voorstelt.
Misschien is het een bruikbare methode als je wél langere, flauwe bogen wilt uittekenen en, net als ik geen gehannes wilt met ellenlange passerlatten of -touwtjes.
Bedankt voor het meedenken!
-
Ik kan het net zo goed op het oog doen, zoals Ronald voorstelt.
Goed plan. In eerste instantie ging ik er vanuit dat het om grotere stukken ging, minstens een kwartcirkel. Maar als het om korte stukjes gaat dan leg ik die ook op het oog. Dat is het aardige van flexrail, het voegt zich vanzelf redelijk vloeiend.
Ik heb geen hekel aan wiskunde, maar het moet wel in proportie zijn. Dus geen ingewikkelde berekeningen als het ook op zijn janboerenfluitjes kan.
-
Wiskunde kan leuk zijn.. ;) Nadeel van je methode is wel dat je onnauwkeurigheid gaat 'stapelen'.
Als je begin en eindpunt wel kan bereiken door rechte lijn, zou ik eerder gebruik maken van de afstand tot een rechte lijn: leg een lat tussen de eindpunten en teken vanaf het midden h1 af, leg de lat nu tussen begin- en eindpunt en teken h2 af, etc etc
(https://images.beneluxspoor.net/bnls/boog-620cbdadbb30e.jpg) (https://images.beneluxspoor.net/bnls/boog-620cbdadbb30e.jpg)
Hoeken en afstanden zijn eenvoudig te bepalen en je kan net zo vaak itereren als je wilt.
-
Gebruik de vergelijking van een cirkel met straal r en poolcoördinaten.
Ieder punt (x,y) van de cirkel vind je met
x = r . cos ∝
y = r . sin ∝
waarbij in jouw geval ∝ = 180° .. 90° (= π .. 1/2π in rad).
Zet de waarden voor de hoek α in een spreadsheet en je rekent voor een bepaalde straal de (x,y) coördinaten uit, die teken je af op de ondergrond en klaar...
Een spreadsheet geeft dan deze tabel, voor straal r = 1 en stapjes van 10 graden;
hoek α | straal r = 1 | X = r . cos α
° rad| x y | Y = r . sin α
--------------------------------------
180 3,142 -1,000 0,000
170 2,967 -0,985 0,174
160 2,793 -0,940 0,342
150 2,618 -0,866 0,500
140 2,443 -0,766 0,643
130 2,269 -0,643 0,766
120 2,094 -0,500 0,866
110 1,920 -0,342 0,940
100 1,745 -0,174 0,985
90 1,571 0,000 1,000
80 1,396 0,174 0,985
70 1,222 0,342 0,940
60 1,047 0,500 0,866
50 0,873 0,643 0,766
40 0,698 0,766 0,643
30 0,524 0,866 0,500
20 0,349 0,940 0,342
10 0,175 0,985 0,174
0 0,000 1,000 0,000
-10 -0,175 0,985 -0,174
Als je voor een overgangsboog de Lemniscaat van Bernoulli gebruikt, kun je op dezelfde manier de coördinaten uitrekenen. De formule voor de poolcoördinaten is dan wel wat ingewikkelder. Een parabolische overgangsboog kan ook nog.
Dit is wel een geval van waarom makkelijk als het moeilijk kan... Ik zou het stuk flexrail aan één kant vastzetten aan de rechtstand en dan volgt de boog vanzelf, inclusief overgangsboog.
-
Ja ik heb voor mijn vak/beroep geleerd te werken met waterpas/theodolieten en uitzetwerk.
Dus ook bogen, clotoïden. etc uitzetten in het eggie (met de betreffende rekenarij). Dat is niet voor een treinbaan op schaal.
Maar inderdaad in dit geval waarom makkelijk als het het ook zeer moeilijk kan doen :angel:
Ronald Visser
-
Toch lijkt me de methode die ik voorstel niet zo moeilijk, als je eenmaal de waarden weet. Dan trek je steeds een lijntje A vooruit, een lijntje O opzij en je hebt een volgende punt op de lijn. En, gesteld dat flexrails zich vrij makkelijk voegen naar de kromming, heb je waarschijnlijk niet eens zoveel punten nodig tussen begin en eind, als ik eerder schreef.
De tabel van 72Sonnet is een goed alternatief voor mijn formules. Er wordt daar nog wel uitgegaan van een bereikbaar middelpunt van de cirkel (x=0, y=0). Maar dat kun je oplossen door bij alle x-coördinaten 1 op te tellen (bij een straal r=1). Het nulpunt verschuift dan naar het punt op de cirkel waar je boog begint. Dat is in de formules van je spreadsheet makkelijk te regelen.
Nog even wat praktische bijzonderheden, om nader te verklaren waarom ik hierover nadenk. Voor mijn sjoelbakken heb ik een bijzondere ondergrond gekozen, namelijk laminaat van Ikea (https://forum.beneluxspoor.net/index.php?topic=98727.msg3222281712#msg3222281712). Dat is dun en spijkert lastig. Alle rails worden vastgelijmd, maar kunnen niet van tevoren gefixeerd worden met spijkers, schroeven of spelden. Een printje van de boogstraal als ondergrond is daarmee ook niet mogelijk.
Om de flexrails in de juiste positie te houden ben ik dus aangewezen op het horizontale vlak. Ik ben begonnen met drie rechtdoorgaande sporen, en heb vanaf daar alle aanliggende sporen gelegd, daarbij gebruikmakend van starre flexrails als afstandhouders voor de rechte stukken:
(https://images.beneluxspoor.net/bnls/Flexrails-recht-leggen-6-61ed717cac18d.jpg) (https://images.beneluxspoor.net/bnls/Flexrails-recht-leggen-6-61ed717cac18d.jpg).
Als je flexrails op een wissel aansluit en dan buigt, krijg je niet direct de ideale boog. Om te beginnen knikt de boel op de aansluiting, zie je linksonder:
(https://images.beneluxspoor.net/bnls/Flexrails-boog-leggen-1a-621001dc4d482.jpg) (https://images.beneluxspoor.net/bnls/Flexrails-boog-leggen-1a-621001dc4d482.jpg)
Het is een beetje lastig om het eerste stukje recht te krijgen. Bij het andere wissel in de foto doe ik dat door het spoor met een stukje biels op afstand te spannen ten opzichte van het (al gelijmde) spoor erboven.
En daarnaast heeft flexrails de neiging uit zichzelf niet in een perfecte cirkel te spannen, maar eerder in iets van een parabool:
(https://images.beneluxspoor.net/bnls/Flexrails-boog-leggen-1-621001de5589b.jpg) (https://images.beneluxspoor.net/bnls/Flexrails-boog-leggen-1-621001de5589b.jpg)
(Ook om tussen bogen onderling een minimum HOH-afstand te krijgen gebruik ik opnieuw losse biels als afstandhouders.)
In sommige gevallen krijg je daardoor een mooie overgangsboog. Maar bij spoor 13 (onderaan in de foto) ben ik toch nieuwsgierig naar een manier om een stukje cirkel te kunnen tekenen met de juiste straal. En wat is die straal? Ik weet de richting en positie van beide uiteinden spoor 1 en 2 die met elkaar verbonden moeten worden:
(https://images.beneluxspoor.net/bnls/Flexrails-boog-leggen-2-621007558f570.jpg) (https://images.beneluxspoor.net/bnls/Flexrails-boog-leggen-2-621007558f570.jpg)
In dit geval lijkt de tekening van Vincent aardig toe te passen op de situatie. Maar bij de tekening ontbreken de formules! Gelukkig wordt het dit weekend weer eens hondenweer...
-
Toch lijkt me de methode die ik voorstel niet zo moeilijk,
Niet moeilijk, maar de fout wordt steeds groter.
De tabel ... is een goed alternatief voor mijn formules. Er wordt daar nog wel uitgegaan van een bereikbaar middelpunt van de cirkel
Nee, je meet vanuit een meetlijn, de verticale lijn links in je tekening, het verlengde van de rechtstand. x en y komen uit de spreadsheet en bovendien geldt A = |y| en O = r - |x|. Die waarden A en O kun je in extra kolommen in het spreadsheet uitrekenen. Waar de oorsprong (0,0) ligt is niet belangrijk.
... daarnaast heeft flexrails de neiging uit zichzelf niet in een perfecte cirkel te spannen, maar eerder in iets van een parabool
Ja, een parabool is ook als overgangsboog te gebruiken, flexrail maakt die 'vanzelf'.
-
Niet moeilijk, maar de fout wordt steeds groter.
Dan teken ik onbewust een overgangsboog ;)?
Nee, je meet vanuit een meetlijn, de verticale lijn links in je tekening, het verlengde van de rechtstand. x en y komen uit de spreadsheet en bovendien geldt A = |y| en O = r - |x|. Die waarden A en O kun je in extra kolommen in het spreadsheet uitrekenen. Waar de oorsprong (0,0) ligt is niet belangrijk.
Dan begreep ik het verkeerd. Je tabel beschrijft de punten van een halve cirkel, waarbij (0,0) het middelpunt is. In eerste instantie ligt het punt (-1,0) dan links onderaan de verticale lijn links. Terwijl, als ik vanaf de verticale lijn alleen naar rechts afbuig, wil ik liefst alle coördinaten ten opzichte van dat beginpunt hebben. Maar met jouw toevoeging over A en O lukt dat ook.
Ja, een parabool is ook als overgangsboog te gebruiken, flexrail maakt die 'vanzelf'.
In het geval van mijn spoor 13 wil ik die niet, of in ieder geval: ik heb er de ruimte niet voor.
-
Of gewoon van hout of dik karton een sjabloon maken :angel:
-
En hoe teken ik dan de juiste boogstraal op dat karton? Zeker weer met een passer ;D.
-
Dan teken ik onbewust een overgangsboog
Niet echt, de fout kan alle kanten op gaan. Het wordt een kromme met knikken.
... Je tabel beschrijft de punten van een halve cirkel, waarbij (0,0) het middelpunt is. In eerste instantie ligt het punt (-1,0) dan links onderaan de verticale lijn links. Terwijl, als ik vanaf de verticale lijn alleen naar rechts afbuig, wil ik liefst alle coördinaten ten opzichte van dat beginpunt hebben. Maar met jouw toevoeging over A en O lukt dat ook.
Ja, je meet steeds vanuit die rechte lijn; A omhoog en O naar rechts. Dit wordt dan de tabel inclusief de waarden voor A en O (uitlijning klopt niet helemaal);
hoek α straal r = 1 A O
° rad x = r . cos α y = r . sin α = |y| = r – |x|
--------------------------------------------------------------
180 3,142 -1,000 0,000 0,000 0,000
170 2,967 -0,985 0,174 0,174 0,015
160 2,793 -0,940 0,342 0,342 0,060
150 2,618 -0,866 0,500 0,500 0,134
140 2,443 -0,766 0,643 0,643 0,234
130 2,269 -0,643 0,766 0,766 0,357
120 2,094 -0,500 0,866 0,866 0,500
110 1,920 -0,342 0,940 0,940 0,658
100 1,745 -0,174 0,985 0,985 0,826
90 1,571 0,000 1,000 1,000 1,000
80 1,396 0,174 0,985 0,985 0,826
70 1,222 0,342 0,940 0,940 0,658
60 1,047 0,500 0,866 0,866 0,500
50 0,873 0,643 0,766 0,766 0,357
40 0,698 0,766 0,643 0,643 0,234
30 0,524 0,866 0,500 0,500 0,134
20 0,349 0,940 0,342 0,342 0,060
10 0,175 0,985 0,174 0,174 0,015
0 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000
-10 -0,175 0,985 -0,174 0,174 0,015
-
(y) Helemaal duidelijk!
-
En hoe teken ik dan de juiste boogstraal op dat karton? Zeker weer met een passer ;D.
De passer die je bij de eigenlijke boog niet kon gebruiken omdat er dingen in de weg zaten... (y)
-
De parabool is mijn inziens de mooiste vorm om van een bocht naar een recht stuk over te gaan. Wat je ziet bij bouwers die met standaard rails bouwen de bocht in een keer van radius 2 of 3 naar recht gaat. Als je daarover je modeltreintje laat rijden ziet dat er onecht uit.
-
Inmiddels zijn we een paar maanden verder na al de goede adviezen.
Nog geen boog gelegd? Of wordt er nog gerekend?
Ronald Visser :-X
-
Uit de boog gevlogen denk ik.
-
Béziercurve:
https://nl.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zierkromme
-
Dan zou de kwadratische beziérkromme wel iets voor ons soort mensen zijn.
Ik zie namelijk een boog met aan beide zijden twee gelijke overgangsbogen. Ook handig als je eens de andere kant op rijdt.
Groet,
Wolter
-
Leuk dat dit onderwerp weer even in de belangstelling staat!
De beschrijving van de kwadratische Bézierkromme, op de Wikipedia-pagina, lijkt wel een beetje op wat ik wilde doen: de positie van het volgende punt afleiden van het vorige punt. De animaties geven mooi weer wat er gebeurt in de formules.
De kwadratische variant lijkt mij twee verschillende overgangsbogen te combineren. De driehoek P0 - P1 - P2 is niet gelijkbenig. Dat kan natuurlijk wel, en dan krijg je twee gelijke overgangsbogen. Mijn wiskunde is niet goed genoeg om te kunnen zien of de kwadratische Bézierkromme dan gelijk is aan een parabool.
Tot zover de theorie. Uiteindelijk waren de stukjes boog te klein om een zo ingewikkelde methode toe te passen, zoals Klaas opmerkte. Ik heb de flexrails grotendeels zelf het werk laten doen (de boog vormen). Op sommige plekken heb ik dat op het oog gecorrigeerd, zoals Ronald voorstelde. Hoe ik dat deed vertelde ik eerder op dit spoor (https://forum.beneluxspoor.net/index.php?topic=101938.msg3222292438#msg3222292438). Het resultaat (de meest rechtse boog was de aanleiding voor de vraag):
(https://images.beneluxspoor.net/bnls/Flexrails-deel-a-gelegd-621400063b772.jpg)
Zie verder het hoofdspoor van de bouw van mijn sjoelbakken (https://forum.beneluxspoor.net/index.php?topic=98727.msg3222293301#msg3222293301).
-
Strak. (y)
Ronald Visser
-
We zijn een jaar en heel wat klinknageltellerij verder, maar voor de volledigheid meld ik het toch even: toevallig kwam ik vandaag het artikel tegen waar ik in mijn openingsbericht naar verwees. Het staat in het nummer van mei/juni 1986 van de RAIL HOBBY (toen schreven ze dat nog zo) en is geschreven door Bernard Kok.
De methode is een beetje anders dan wat ik me herinnerde, en bijna zoals MH (72Sonnet) beschrijft in reactie #11 (https://forum.beneluxspoor.net/index.php?topic=101938.msg3222291830#msg3222291830). Langs de verticale as, links in de figuur die ik toonde in mijn openingsbericht, worden steeds horizontale lijnen getrokken. De verticale afstand (langs de as) tussen die horizontale lijnen is constant. De lengte is uit te rekenen met behulp van een formule, afgeleid van de cirkelvergelijking (zie ook reactie #11). Het voordeel van deze methode boven wat ik bedacht had, is dat de fout wordt vermeden die Vincent aangaf in zijn reactie:
(…) Nadeel van je methode is wel dat je onnauwkeurigheid gaat 'stapelen'. (…)
Mensen met een abonnement op Railhobby.nl of in het bezit van een papieren exemplaar kunnen de informatie daar terugzoeken. Ik kan het artikel hier natuurlijk niet plaatsen. Mocht het echter iemand interesseren, dan wil ik nog wel een tekening maken en de formule overschrijven. Op de wiskundige kennis zit geen auteursrecht.
-
Ik heb zeker interesse in een tekening en een (overgeschreven) formule.
Wolter
-
--KNIP--
Mensen met een abonnement op Railhobby.nl of in het bezit van een papieren exemplaar kunnen de informatie daar terugzoeken. Ik kan het artikel hier natuurlijk niet plaatsen. Mocht het echter iemand interesseren, dan wil ik nog wel een tekening maken en de formule overschrijven. Op de wiskundige kennis zit geen auteursrecht.
In het archief van Railhobby zijn de uitgaven van 1983 t/m 1987 niet beschikbaar. Volgens mij was dit blad toen bij een andere uitgever gepubliceerd en kennelijk niet beschikbaar voor het archief.
-
Het resultaat (de meest rechtse boog was de aanleiding voor de vraag)
Waarom kon je hier eigenlijk geen passer voor knutselen...??
-
Goeie vraag Vincent,
Nu ik de foto bekijk (en de echte situatie) denk ik dat dat best mogelijk was geweest. Ik weet nog dat ik me wel afvroeg hoe ik dan achter de juiste straal kon komen. Blijkt ook in dat artikel te staan! Kom ik zo op terug; eerst even "gewoon" een boog van 90 graden.
Als je een kwartcirkel hebt met een straal R en vanuit het middelpunt een x- en en y-as trekt, dan geldt voor elk punt op die cirkel dat
Voor de formule maakt het niet uit als we de assen een beetje anders tekenen:
(https://images.beneluxspoor.net/bnls_2023/Boog-uitzetten-hoek-90-graden-64b0500b36a9c.png) (https://images.beneluxspoor.net/bnls_2023/Boog-uitzetten-hoek-90-graden-64b0500b36a9c.png)
Het middelpunt van de cirkel ligt rechtsonder. X begint daar bij 0 en loopt richting linksonder op naar x = R.
De y-as is links getekend en stelt het rechtdoorgaande spoor voor.
Om nu de boog uit te kunnen zetten, kunnen we op vaste afstanden langs die y-as een horizontale lijn trekken. De lengte van die lijn a is gelijk aan R - x. Als we in de formule nu steeds R en y invullen, kunnen we x, en dus a, uitrekenen. In de figuur zijn de lengtes gegeven voor een straal van een meter. Zoals eerder gezegd: omdat je steeds tekent vanuit de rechtdoorgaande as, blijft de onnauwkeurigheid beperkt.
Nu ik het artikel goed las, kwam ik erachter dat ook voor mijn probleem een oplossing geboden werd. Hoe bepaal je de straal van de boog tussen twee rechte stukken spoor, die niet haaks op elkaar staan?
Het antwoord wordt gegeven door deze tekening:
(https://images.beneluxspoor.net/bnls_2023/Boog-uitzetten-hoek-kleiner-64b0500b3ad44.png) (https://images.beneluxspoor.net/bnls_2023/Boog-uitzetten-hoek-kleiner-64b0500b3ad44.png)
Het horizontale spoor komt van links en loopt tot A (het rechte stuk links van A ontbreekt in de tekening). Het aan te sluiten spoor komt van rechtsboven en loopt rechtdoor tot B. Tussen A en B moet een boog gelegd worden.
Vanuit elk spoor wordt eerst een rechte lijn doorgetrokken. Die lijnen kruisen elkaar: A-S en B-S. Als het goed is zijn deze even lang.
Daarna is de horizontale lijn A-S doorgetrokken tot punt C, dat zo gekozen wordt dat het mogelijk is om haaks daarop de lijn B-C te tekenen. We noemen A-C = x en B-C = a. Als je nu x en a opmeet kun je de straal berekenen volgens:
Voor de getallen in de figuur komt de straal op 4,3 meter! Knappe jongen die daar een passer voor knutselt :).
Nu kan dezelfde formule als voor de kwartcirkel gebruikt worden om de lengte van de stukjes a uit te rekenen, die op vaste afstanden x zijn uitgezet vanaf A, links. De lengtes in de tabel in de figuur zijn gebaseerd op die 4,3 meter.
Voor de boog rechts op de foto van mijn sjoelbak heb ik a en x nog even opgemeten om de straal te bepalen. Met a =12cm en x = 33cm kom ik op 51,3cm. De boog is al gelegd zoals beschreven in reactie #13 (https://forum.beneluxspoor.net/index.php?topic=101938.msg3222292438#msg3222292438). De straal van mijn boog is niet constant dus het scherpste stuk zal een wat kleinere straal hebben. En ik heb toch een overgangsboog.
Het voorbeeld van 4,3 meter lijkt me iets voor een module, of voor een mooi lang station in een boog, zoals Baarn?
-
Kan wellicht nog wel simpeler: ik vermoed dat A/B = R/S... :)
(https://images.beneluxspoor.net/bnls_2023/geenpasser-64b06412602f7.jpg) (https://images.beneluxspoor.net/bnls_2023/geenpasser-64b06412602f7.jpg)
-
Dat denk ik ook. Maar dan?
-
Waarom kon je hier eigenlijk geen passer voor knutselen...??
Passer knutselen?
Touwtje van ruim vier meter met aan ene kant spijker en aan ander einde krijtje!
Leef je uit!
Okay, in een kamer van 2 meter bij 2 meter zal het niet lukken. :D
-
Precies, anders moeten we weer terug naar start (https://forum.beneluxspoor.net/index.php?topic=101938.msg3222291510#msg3222291510) (U ontvangt géén Hfl 20.000)!
-
Dat denk ik ook. Maar dan?
Makkelijk zat toch; trek de lijnen door van P1 en P2 naar P3, en van P1 naar P2.
Meet B, A en S op en je weet R.
En dat was toch de laatste vraag?
Ik weet nog dat ik me wel afvroeg hoe ik dan achter de juiste straal kon komen.
(https://images.beneluxspoor.net/bnls_2023/geenpasser1-64b06eda0679d.jpg) (https://images.beneluxspoor.net/bnls_2023/geenpasser1-64b06eda0679d.jpg)
-
Inderdaad: veel makkelijker dan wat in het artikel wordt voorgesteld. Ook omdat je niet zo ver hoeft uit te wijken naar punt C in mijn tekening. Daarvoor ontbreekt misschien ook de ruimte op een spoorbaan.
Ik ben benieuwd of iemand dit al eens heeft toegepast, of gaat toepassen.
-
Je bedoelt dat prentje van Vincent? Dat pas ik al jaren toe bij de bouw van mijn wissels.
P3 is dan het mathematisch punt, P2 de plek van de punt van het puntstuk en P1 de tongpunten.
-
Kan mij ook niet voorstellen dat een oude Griek dit niet eerder heeft ontdekt ;D Was wel blij met mijzelf dat ik er zelf op gekomen ben...
-
De details van het gebruik bij wisselbouw zijn vast op een ander spoor te vinden? Het gaat mij hier om het leggen van slappe bogen.
Volgens mij bouwden de oude Grieken nog geen modelspoorbanen. Maar van geometrie wisten ze wel het een en ander. Wat mij betreft ben je geslaagd hoor, Vincent!
-
Wissel of een slappe boog is toch allebij een boog waarvoor een geometrie moet bepalen... ???
En of ze modelbanen hadden... wel treinen ;D https://www.historyofrailroad.com/news/father-railway-diolkos